Preparando un café. La ley de inclusión exclusión

Mi vecina, que es un amor, nos ha regalado un juego monísimo de 6 tazas de café. Hay dos rosas, dos amarillas y dos verdes, cada una de ellas con un plato de su mismo color. 

Hoy, en un momento de añoranza, las he dispuesto la mesa esperando que pronto pueda tener compañía. Al terminar me he percatado de que, habiéndolas colocado al azar, ningún plato coincidía con una taza de su color y me he preguntado que probabilidad había de que eso pasase… 

Me he ido a preguntar a twitter y aquí tenéis las respuestas…

Pero ¿cuál es la solución correcta? Y, más concretamente ¿Cómo podemos calcularla? 

¿Me dejas que te cuente? 

¿Contamos?

Lo primero que se nos ocurre en estos casos es contar cuantas posibilidades tengo de colocar las 6 tazas con sus platos, y eso es relativamente fácil. Solo tengo que pensar que cuando coloco la primera taza en un plato me quedarán solo 5 platos por lo tanto, para la segunda solo tengo 5 opciones. Para la cuarta taza tendré 4, para la tercera 3… ¿me sigues?

Eso nos deja un total de 6*5*4*3*2*1 posibilidades, algo que en matemáticas se conoce como el factorial de 6, se escribe 6! y tiene un valor de 720.

Antes de continuar debo aclarar aquí que estoy suponiendo que las tazas y los platos llevan un número y es diferente poner la taza amarilla marcada con un 1 con el plato amarillo que lleva el mismo número que hacerlo con el plato amarillo marcado con un 2 (y viceversa). Posiblemente podríamos encontrar otra solución al problema que no tuviese en cuenta esto, pero así es como lo he resuelto yo.

Hechas las aclaraciones oportunas, ahora sería el momento de pensar de cuántas formas puedo colocar las tazas para que ninguna coincida con su plato y, yo no se a ti… pero a mí eso me resulta difícil de pensar. Ojo, qué se puede y hay quien lo resuelve así, pero yo recurriré a un truco muy antiguo: Divide et impera o lo que es lo mismo, divide y vencerás.

En este caso, además, esta estrategia nos permite explicar una de las propiedades de la probabilidad que menos se conocen. La ley de inclusión-exclusión, y en este blog no se excluye a nadie (eso ya lo sabéis) así que imaginaréis que no va por ahí la cosa.

La Ley de Inclusión Exclusión

La ley de inclusión exclusión lo que nos dice es cómo calcular la probabilidad de un suceso que podemos expresar como que pase A o que pase B (esto es A unión B o A \cup B en lenguaje matemático).

Por ejemplo, si quiero estudiar la probabilidad de que una persona lea la prensa, ya sea digital o escrita, estamos ante un suceso que es la unión de dos sucesos: A) Una persona lee prensa digital y B) una persona lee prensa escrita. Se trata de dos sucesos que, además, pueden darse a la vez, es decir, que hay personas que leen prensa digital y prensa escrita.

Pues bien, para calcular la probabilidad que nos interesa que es la de A \cup B lo primero que se nos ocurre seguramente sea sumar la probabilidad de A y la de B. Pero como ya hemos dicho, y podemos ver en el siguiente dibujo que se conoce como diagrama de Venn, hay una parte de los dos grupos que coincide: la intersección A \cap B.

Ahora pensemos que la probabilidad es equivalente al área que ocupa cada conjunto. Al sumar la probabilidad de A (área verde) y la de B (área amarilla) habremos sumado 2 veces a las personas que leen los 2 tipos de prensa y los tenemos que quitar. En lenguaje matemático esto sería:

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

Pero vamos a complicarlo un poco más. Añadamos el conjunto de quienes leen la prensa en twitter. Si sumo las probabilidades de los 3 conjuntos estoy sumando las personas que están en las intersecciones 2 veces y las que están en el centro (las que hacen las tres cosas a la vez) la estoy sumando 3 veces.

Pero si quito las intersecciones la central la estoy quitando las 3 veces por lo que ese trozo no lo estaríamos contando… así que hay que volver a sumarlo. Esto, en lenguaje matemático es:

$latex P(A\cup B \cup C)=

P(A)+P(B)+P(C) - \left[P(A\cap B) + P( A\cap C)+ P(B \cap C)\right] +P(A\cap B \cap C)

Esto se puede extender hasta el infinito para cualquier número de conjuntos. La idea es ir sumando y restando intersecciones de forma alternativa y se conoce como Ley de Inclusión Exclusión.

Pero… volvamos al café

Ahora la duda es cómo aplicamos este procedimiento a mis tazas… lo primero que vamos a hacer es numerarlas del 1 al 6. Ahora pensad en el evento: «la taza 1 coincide con un plato de su color», podemos llamarlo A1 para que sea más fácil escribirlo y cambiando el número, tenemos 6 eventos de este tipo, uno por cada taza.

Lo que es interesante de estos eventos es que si los unimos, lo que tenemos es que «al menos una taza coincide con un plato de su color». Eso es justo lo contrario de lo que buscábamos «ninguna taza coincida con un plato de su color». Bastará por tanto con calcular la probabilidad de la unión de esos eventos y nuestro deseado resultado será uno menos la probabilidad calculada.

Cómo tenemos que calcular la probabilidad de una unión vamos a recurrir al superpoder de la ley de inclusión exclusión. En particular, como tenemos 6 eventos lo que necesitamos es:

  • La probabilidad de cada evento A1, A2, A3, A4, A5 y A6
  • La probabilidad de que se den dos de estos eventos a la vez. Esto lo haremos para todas las posibles parejas (A1 y A2, A1 y A3, A1 y A4 ….)
  • La probabilidad de que se den tres de estos eventos a la vez…
  • La probabilidad de que se den todos los eventos a la vez (todas las tazas coincidan con su plato)

Pero mejor vayamos por partes:

Eventos individuales

Tenemos 6 probabilidades individuales para A1, A2, A3, A4, A5 y A6 y es fácil ver que la probabilidad de que una taza coincida con un plato de su color es 2/6 o, equivalentemente 1/3.

También podemos verlo como que, de las 720 formas que teníamos de colocar las tazas, si una está fijada tenemos 5*4*3*2*1 formas de organizar el resto y lo multiplicamos por 2 porque para la primera hay dos opciones (dos platos del mismo color). Eso nos da, de nuevo, 2/6 o 1/3

Intersecciones de dos eventos

Aquí podemos hacer 15 parejas. ¿Qué cómo lo sé? pues esto es combinatoria y Julio Mulero lo explicaba muy bien en esta entrada. De forma intuitiva, para la primera taza de la pareja tengo 6 opciones, para la segunda 5. Eso hacen 30 posibles parejas pero, teniendo en cuenta que la pareja A1-A2 es la misma que A2-A1, pues me quedo con la mitad: 15.

De esas 15 parejas, 3 tienen la particularidad de que las dos tazas que coinciden con su plato son del mismo color. Entre ellas las podemos combinar de 2 formas y el resto las podemos organizar de 4*3*2*1 = 24 formas diferentes. Eso es, hay 3 intersecciones de dos eventos que tienen probabilidad 48/720

Para las 12 parejas restantes, hay dos tazas de diferentes colores que coinciden con un plato de su color. Para cada una de ellas tengo dos opciones y para las 4 restantes 24 (como arriba). Por tanto, esas 12 combinaciones tienen probabilidad 96/720

Intersecciones de tres eventos

De una forma similar a la de las parejas, sabemos que hay 20 tríos de eventos. En 12 de ellos, dos de las tazas que coinciden tendrán el mismo color y una de ellas será de otro color. Las dos del mismo color las podemos intercambiar de plato por eso tenemos 2 opciones. Para la tercera podemos elegir cualquiera de los platos de su color, otras 2 opciones. Las tres restantes se pueden ordenar de 3*2*1 formas diferentes. En total tengo que la probabilidad de cada intersección de este tipo será 24/720.

En los 8 restantes, las tres tazas que coinciden son de diferente color por lo que para cada una hay dos opciones y el resto las podemos ordenar, de nuevo, de 3*2*1 formas. Eso nos deja 48 combinaciones distintas, por tanto, una probabilidad de 48/720.

Intersecciones de cuatro eventos

Para estas hay 15 cuartetos de los cuales 3 se corresponden con dos parejas del mismo color y 12 con una pareja y dos diferentes.

Para las 3 primeras podemos darnos cuenta de que si hay 2 parejas del mismo color, las dos restantes también estarán con sus platos del mismo color. En ese caso las formas de ordenarlas son de dos combinaciones por cada pareja, es decir 8 posibles ordenaciones lo que nos deja una probabilidad de 8/720

Los 12 cuartetos restantes podemos ordenarlos con dos órdenes para la pareja, dos órdenes para cada taza de diferente color y dos órdenes para las dos tazas restantes. Esto es, 16 órdenes de los 720 lo que nos da una probabilidad de 16/720.

Intersecciones de cinco y de seis

Para estas es fácil darse cuenta que todas coinciden con tazas de su color por lo que estamos como en los primeros 3 cuartetos del punto anterior que tenían una probabilidad de 8/720 para cada una de las 6 intersecciones de 5 y para la única intersecciones de 6.

Y podemos concluir

Fijaos que en el fondo, en cada uno de los pasos que hemos dado, hemos contado combinaciones que ya estaban contadas en otro paso. Pero, la magia de la Ley de Inclusión-Exclusión es exactamente esa: que nos permite tener en cuenta estas duplicidades en la forma correcta.

Ahora, si la aplicamos tendríamos:

6*\frac{1}{3} - \left[ 3*\frac{48}{720}+12*\frac{96}{720}\right] +  \left[ 12*\frac{24}{720}+8*\frac{48}{720}\right]  - \left[ 3*\frac{8}{720}+12*\frac{16}{720}\right] + \left[ 6*\frac{8}{720}\right] - \frac{8}{720}

Y si hacemos los cálculos lo que nos queda es 640/720 o, equivalentemente 8/9.

Recordemos que esta probabilidad sería la de que hubiese al menos una taza que coincidiese con un plato de su color. Sin embargo, la probabilidad que buscábamos era la de que ninguna taza coincida con su plato que será justo la complementaria, es decir 1-8/9= 1/9 y he aquí la solución a mi pregunta inicial, la probabilidad de que ninguna taza coincida con el color de su plato es aproximadamente de un 11.1%

Gracias por leer hasta aquí. ¡Espero que te haya gustado!

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